Bert's brein

geplaatst: 5-8-2014

reageer

conditionele logica



Wat gebeurt er als we de logica van Aristotoles uitbreiden met een extra onderscheid? Het wordt mogelijk om logisch valide conclusies te trekken die afhankelijk zijn van de vervulling van een voorwaarde: conditionele logica.

conditionele logica

  1. inleiding
  2. De basis van de westerse logica in al zijn vormen gaat terug op Aristotoles. In de logica is het de bedoeling om ware conclusies te trekken, gegeven de waarheid van de uitspraken waarmee men begint. In die zin voegt logica nooit informatie toe, het haalt alleen reeds bestaande informatie naar voren.
    Het syllogisme bestaat uit twee premissen en een conclusie. Premissen en conclusie kennen vier subtypes, die doorgaans worden aangeduid met de letters {a,e,i,o} De tabel geeft uitleg:
    code quantifier subject   copula Predikaat type voorbeeld
    a alle S   zijn P algemeen bevestigend alle mensen zijn sterfelijk
    e geen enkele S   zijn P algemeen ontkennend geen enkel mens is perfect
    i sommige S   zijn P specifiek bevestigend sommige mensen zijn gezond
    o sommige S   zijn niet P specifiek ontkennend sommige mensen zijn niet slim
    De wijze van uitdrukken is gekleurd door onze taal, en kan enigszins worden aangepast bij een formele notatie. Voor het subject lijkt er een 3-voudig onderscheid, te weten in {alle, geen, sommige}, maar in wezen is dat een 2-voudig onderscheid, nl. in {alle, sommige}; het derde alternatief "geen" komt terug in de ontkenning van het werkwoord. Er is geen logisch verschil tussen: "Geen enkel mens is perfect" en "alle mensen zijn niet perfect". De basis van de Aristoteliaanse logica is dus dichotoom: (bevestigend/ontkennend), (sommige/alle).

    Daarnaast wordt er een onderscheid gemaakt naar aanleiding van de volgorde van presentatie. In de premisse major wordt een reltie gelegd tussen tussen het predikaat (P) en de middenterm (M); in premisse minor wordt een relatie gelegd tussen het subject (S) en de middenterm (M). De conclusie legt de relatie tussen het Subject en het Predicaat. Er wordt onderscheid gemaakt tussen een premisse major van de vorm (M-P) versus de vorm (P-M); m.m. voor de premisse minor.

    Op basis van deze terminolgie zijn er 256 verschillende syllogismen denkbaar; 24 daarvan zijn valide, d.w.z. dat ze een ware conclusie uit de premissen mogelijk maken.
    Voor een verder uitleg en voorbeelden: zie wikipedia

  3. toevoeging
  4. Aristotoles (en de filosofen uit de middeleeuwen, die een nadere uitwerking hebben gegeven) plaatst "sommige" tussen "geen" en "alle", waarbij de "geen" wordt weergegeven door de negatie (zie boven). De term "sommige" wordt hier opgevat als "er bestaat tenminstie één", dus de zin: Sommige mensen zijn gezond" betekent dan: "Er is tenminste één gezond mens".
    Hierop is een uitbreiding mogelijk en zinvol. De uitbreiding is zinvol omdat die ware conclusies mogelijk maakt die niet noodzakelijkerwijs volgen uit de 24 bestaande syllogismen.
    De uitbreiding bestaat eruit, dat naast "sommige" ook wordt onderscheiden "de meeste", in de betekenis van "de helft plus 1".
    Altijd als een syllogisme met "sommige" geldig is, is een syllogisme met "de meeste" ook geldig, omdat "de meeste" altijd valt binnen "sommige". Er wordt echter een nieuwe mogelijkheid geopend, die de traditionele logica niet heeft.
    Vergelijk:
    • Sommige dieren hebben vleugels
    • Sommige dieren hebben ogen
    • conclusie: geen conclusie mogelijk
    versus:
    • De meeste dieren hebben vleugels
    • De meeste dieren hebben ogen
    • conclusie: sommige dieren hebben zowel vleugels als ogen
    • alternatieve conclusie: vleugels en ogen sluiten elkaar niet uit, of:
    • alternatieve conclusie: de uitsraak "vleugels en ogen sluiten elkaar uit" is onwaar

    nog een voorbeeld:
    • De meeste kinderen in de klas zijn geslaagd
    • De meeste kinderen in de klas houden van voetbal
    • conclusies: (logisch equivalent)
    • -sommige kinderen die van voetbal houden zijn geslaagd
    • -sommige geslaagde kinderen houden van voetbal
    • -van voetbal houden en slagen sluiten elkaar niet wederzijds uit
    • -de uitspraak "van voetbal houden en slagen sluiten elkaar wederzijds uit" is onwaar

    Er zijn een paar opvallende verschillen tussen de gekende 24 syllogismen, en de bovenstaande toevoeging, zoals getoond in de voorbeelden:
    1. er is niet zozeer sprake van een premisse major (algemeen) en een premisse minor (specifiek), maar van twee keer een premisse major; dat maakt dit syllogisme verwant met Bocardo
    2. de middenterm is het subject van beide premissen; de premissen verschillen in hun predikaat
    3. de conclusie uit twee premissen met de quantifier "de meeste" kan de term "sommige" bevatten
    De vorm:
    • De meeste A zijn B
    • De meeste A zijn C
    • ergo: Sommige A zijn zowel B als C
    is een valide syllogisme.

    Ook de negatieve variant levert een valide redenering op; onder "niet de meeste" wordt verstaan: "sommige, maar minder dan de helft":
    De vorm:
    • Niet de meeste A zijn B
    • Niet de meeste A zijn C
    • ergo: Sommige A zijn noch B noch C
    is een valide syllogisme.

    Interessant is dat een verwant syllogisme niet valide is:
    • Alle A zijn B
    • De meeste B zijn C
    • ergo: sommige A zijn C
    is niet valide.
    voorbeeld:
    • Alle leerlingen die hard studeren halen hoge cijfers
    • De meeste leerlingen die hoge cijfers halen krijgen later een goed betaalde baan
    • ergo: sommige leerlingen die hard studeren krijgen later een goed betaalde baan.
    Deze conclusie is onjuist. De impliciete vooronderstelling is, dat hard studeren de enige mogelijkheid is om hoge cijfers te halen. In het geval dat maar 10% van de leerlingen hard studeert, en op basis daarvan goede cijfers haalt, maar tegelijkertijd 90% van de leerlingen de leerkrachten omkoopt en op deze manier goede cijfers krijgt, kan het zo zijn dat geen enkele leerling die hard studeert ook een goede baan krijgt.

    Het syllogisme wat hierop lijkt is wel valide:
    • De meeste A zijn B
    • Alle B zijn C
    • ergo: sommige A zijn C
    Ook dit is verwant aan Bocardo.


  5. generalisatie
  6. "De meeste" is meer dan de helft, "niet te meeste, wel sommige" is minder dan de helft. De dwingende logica uit de bovenstaande redenering zit er natuurlijk in, dat als in een verzameling zich twee deelverzamelingen bevinden die elk meer dan de helft van het aantal elementen bevatten, die twee deelverzamelingen een overlap moeten hebben. Er is echter geen strikte noodzaak om hier een vaste grens op de helft te leggen. De redenering is even geldig als de ene deelverzameling 80% omvat en de andere 30%. Als de betreffende getallen in de gegeven voorbeelden worden ingevuld, blijven die redeneringen geldig.
    Bekijk nu echter de volgende premissen:
    1. 90% van alle leerlingen houdt van voetbal
    2. 70% van alle eindexamen-leerlingen is geslaagd
    wat voor conclusies zijn hier mogelijk?
    Als het aantal geslaagden groter is dan het aantal leerlingen dat niet van voetbal houdt, is het zeker dat er tenminste 1 leerling is, die zowel geslaagd is, als van voetbal houdt.
    Het aantal eindexamen-leerlingen is een deelverzameling van het aantal leerlingen. Wat telt is de fractie (f)
    f = (aantal eindexamen-leerlingen) / (aantal leeringen)
    dus: het aantal eindexamen-leerlingen = f * aantal leerlingen
    het aantal geslaagde eindexamen-leerlingen = f * aantal leerlingen * 0,7
    het aantal leerlingen dat niet van voetbal houdt bedraagt (1-0,9) * aantal leerlingen.
    Als:
    f * aantal leerlingen * 0,7 > (1-0,9) * aantal leerlingen
    dan:
    sommige eindexamen-leerlingen die van voetbal houden zijn geslaagd.
    In dit geval: als f > 1/7, dus als minstens 14,28% van de leerlingen examen doet.
    Interressant hieraan is, dat het bereiken van de conclusie slechts afhankelijk is van een te berekenen waarde: boven die waarde is de conclusie gerechtvaardigd, onder die waarde niet. Dat is iets heel anders dan een conclusie met een zekere waarschijnlijkheid, en zeker anders dan de voorwaardelijke kansen van Bernouilli. De conclusie is hard en logisch valide, gegeven het overschrijden van de grenswaarde.
    Opmerkelijk is, dat er geen gedeelde middenterm meer is, die de twee premissen verbindt. Er is sprake van een term in de eerste premisse die een verzameling aanduidt, en een term in de tweede premisse die een deelverzameling daarvan aanduidt. De grenswaarde heeft betrekking op de verhouding tussen die twee.

  7. de gedachte
  8. De gegeven voorbeelden zijn -als altijd- nogal triviaal. Toch kan het zinvol zijn om te letten op de benoemde redeneerfout, omdat mensen deze puur op intuïtie waarschijnlijk makkelijk en verder gedachtenloos maken.
    Wat mij betreft is het laatste onderdeel interessant, omdat het gaat naar een conditionele conclusie, die bovendien berekenbaar is. Ik kan me bijvoorbeeld voorstellen dat dit bruikbaar is in de bewijzen bij getaltheorie:
    1. van een specifiek aantal opeenvolgende getallen heeft percentage a eigenschap x
    2. van een subset daarvan heeft een percentage b de eigenschap y
    3. bewijs dat er getallen met zowel eigenschap x als y
    In dit geval kan men op zoek naar de conditie waaronder iets wel of niet mogelijk is.

Bert's werk