Bert's brein

geplaatst: 10-2-2014

reageer

Als ik van een getal weet op hoeveel verschillende manieren ik het als de som van twee kwadraten kan schrijven, wat weet ik dan over dat getal?

sommen van kwadraten


  • inleiding
  • In een eerder stukje werd ingegaan op het vierde merkwaardig product, dat laat zien dat als ik twee termen heb die elk de som van twee kwadraten zijn, het product van die termen ook weer de som van twee kwadraten is, en wel op twee verschillende manieren. Het stukje eindigde met de vraag of het omgekeerde ook het geval is. Het antwoord is ja: als een getal op twee verschillende manieren te schrijven is als de som van twee kwadraten, dan bevat dit getal bij ontbinding in factoren (tenminste) twee factoren die elk de som van twee kwadraten zijn. bij deze de uitleg.

  • afleiding
  • Ik val hier terug op een bewijs dat in verschillende boeken wordt genoemd. Deze versie (in proza) is geciteerd uit Numbert Theory van George E. Andrews (als ebook verkrijgbaar):
    A positive integer n can be represented as a sum of squares if and only if its factorisation into powers of distinct primes contains no odd powers of primes congruent to 3 modulo 4.
    Er moet nog bij verteld worden dat in de bewijsvoering ook (a2 + 02) geldt als een valide som van twee kwadraten, en dat is anders dan bij de pythagoreische driehoeken.
    Het heeft me enige tijd geduurd voor ik de consequenties hiervan enigszins overzag. Ik zal daarom proberen in stapjes uit te leggen wat ik erin zie.

    Laat ik om te beginnen onderscheid maken tussen 3 verschillende soorten (priem-)factoren:
    p 1 mod 4, dwz {1, 5, 13, 17 .....}
    p 3 mod 4, dwz {3, 7, 11, 19 .....}
    p = 2


    Neem nu een willekeurig getal n. De stelling kijkt naar dit getal als het product van een aantal priemfactoren.

    voor n 3 mod 4
    n 3 mod 4 is nooit te schrijven als de som van 2 kwadraten. Dit is ook direct inzichtelijk als men het toch probeert: 4n + 3 is oneven, dus als het de som van 2 kwadraten is, is het de som van een even en een oneven kwadraat. De mogelijkheden zijn dus:
    4n + 3 =? (2a)2 + (2b + 1)2 = 4(a2) + 4(b2) + 4b + 1 = 4(a2 + b2 + b) + 1
    Daaruit volgt direct dat 4n + 3 nooit te schrijven is als de som van twee kwadraten.

    voor n 1 mod 4
    Als n 1 mod 4 dan is n oneven, en bevat het getal dus geen factoren 2.
    n kan (gegeven het bovenstaande) een even aantal verschillende priemfactoren van de 2de categorie hebben die allemaal een oneven aantal keren voorkomen. Bijvoorbeeld bij n = 21 = 3 x 7.
    Onder de aangehaalde stelling blijkt, dat in een dergelijk geval n op geen enkele wijze te schrijven is als de som van 2 kwadraten. Blijft over dat n enkel even aantallen bevat van elke priemfactor p 3 mod 4.

    Als er alleen maar even aantallen van priems uit de 2de categorie in n zitten (en geen priemfactoren uit de 1ste categorie), dan is n op slechts 1 manier te schrijven als de som van twee kwadraten, en wel een som waarbij het tweede kwadraat 02 is:
    72 = 72 + 02
    74 = 74 + 02
    72 x 112 = 772 + 02
    In termen van pythagoreische driehoeken (waarbij het handelt om kwadraten van 1 of groter) zijn deze getallen nog steeds niet te schrijven als de som van twee kwadraten.

    Let hierbij vooral op de werking van het 4de merkwaardig product:
    (a2 + b2) x (c2 + d2)
    = (ac + bd)2 + (bc - ad)2 (= de som van twee kwadraten)
    = (ac - bd)2 + (bc + ad)2 (=de som van twee andere kwadraten)
Toegepast op kwadraten met zo'n bovengenoemd nul-kwadraad, leidt dit tot (bij wijze van voorbeeld):
(72 + 02) x (72 + 02) = (7 x 7 + 0 x 0)2) + (0 x 7 - 7 x 0)2) = 72 + 02 en
(72 + 02) x (72 + 02) = (7 x 7 - 0 x 0)2) + (0 x 7 + 7 x 0)2) = 72 + 02
er is dus -ook gegeven het 4de merkwaardig product- slechts één manier om 72a te schrijven als de som van twee kwadraten, en het tweede kwadraat is altijd 0.

Uit het bovenstaande volgt, dat als een willekeurige n wordt vermenigvuldigd met een even aantal factoren p 3 mod 4 (noem het resultaat even m), geldt dat het aantal manieren om m te schrijven als de som van 2 kwadraten exact hetzelfde is als het aantal manieren om n te schrijven als de som van 2 kwadraten.
voor n = 13:
13 = (22 + 32) i.e. slechts op 1 mannier te schrijven als de som van twee kwadraten.
voor n = 117 = 13 x 3 x 3:
(32 + 02) x (22 + 32)
=(3x2 + 0x3)2 + (0x2 + 3x3)2 = 62 + 92
=(3x2 - 0x3)2 + (0x2 - 3x3)2 = 62 + 92
i.e. : door twee factoren 3 toe te voegen aan n, verandert het aantal manieren om n te schrijven als som van kwadraten niet.

voor p = 2
12 + 12 = 2, dus 2 is de som van 2 kwadraten.
Als n op k manieren kan worden geschreven als de som van 2 kwadraten, dan geldt voor 2n:
(12 + 12) x (a2 + b2) = (vierde merkwaardig product)
(1 x a + 1 x b)2 + (1 x b - 1 x a)2 = (a + b)2 + (a - b)2, en ook:
(1 x a - 1 x b)2 + (1 x b + 1 x a)2 = (a + b)2 + (a - b)2
ergo: als m = 2n, dan k(m) = k(n)
Aardig is ook de ontwikkeling van 2-machten:
21 = 12 + 12
22 = 22 + 02
23 = 22 + 22
24 = 42 + 02
25 = 42 + 42
etc.
Alle even machten van 2 zijn te schrijven als de som van het kwadraat van een macht van 2 plus een nul-kwadraat
alle oneven machten zijn te schrijven als twee (identieke) kwadraten van een 2-macht.

  • de gedachte
  • Uit het bovenstaande volgt:
    als k = het aantal manieren waarop een onevengetal n geschreven kan worden als de som van 2 kwadraten:
    1. als 02 geldt als een valide kwadraat:
      1. k = 0 als n 3 mod 4
      2. k = 1 als n enkel bestaat uit even aantallen priemfactoren, waarbij voor elke factor geldt: p 3 mod 4
        k = 1 als n 1 mod 4 en n en bevat exact 1 priemfactor p waarvoor geldt p 1 mod 4
      3. k > 1 in alle andere gevallen.
    2. als 02 niet geldt als een valide kwadraat:
      1. k = 0 als n 3 mod 4
        k = 0 als n enkel bestaat uit even aantallen priemfactoren, waarbij voor elke factor geldt: p 3 mod 4,
      2. k = 1 als n ≡ 1 mod 4 en n en bevat exact 1 priemfactor p waarvoor geldt p 1 mod 4 of
        n 1 mod 4 en n en bevat exact 2x priemfactor p waarvoor geldt p 1 mod 4 (zie blockquote in stukje over het 4de merkwaardig product) ; in beide gevallen geldt dat er even aantallen van priemfactoren q ≡ 1 mod 4 in n kunnen voorkomen.
      3. k > 1 in alle andere gevallen.
    3. voor n = even en n ≠ 2a geldt:
      k(2) = 1
      k(2n) = k(n)


    Uit het bovenstaande volgt dwingend: als een getal n op 2 manieren te schrijven is als de som van 2 kwadraten, dan bevat n minstens 2 factoren die elk te schrijven zijn als de som van 2 kwadraten. Dit is de conclusie waarnaar werd gezocht.
    Bovendien is er een 2de conclusie mogelijk:
    Als n op slechts 1 manier te schrijven is als de som van 2 kwadraten (elk groter dan 0), dan is n ofwel priem, ofwel n bevat exact twee keer priemfactor p met p 1 mod 4.
    Daarmee is meteen bewezen dat voor alle priems p 1 mod 4 geldt dat p2 op slechts 1 manier te schrijven is als de som van twee kwadraten