Bert's brein

geplaatst: 10-2-2014

reageer

Naast de 3 merkwaardige producten die op de middelbare school worden onderwezen, is er nog een 4de. Diophantus is de eerste die deze vergelijking naar voren bracht, Euler heeft het bewijs gepubliceerd onder verwijzing naar Fibonacci.

het 4de merkwaardig product


  • inleiding
  • Als je er eenmaal oog voor hebt zie je ze overal opduiken in getaltheorie: sommen van kwadraten. De bekendste is natuurlijk de stelling van Pythagoras (a2 + b2 = c2), maar ook zijn ze te vinden in de reeks van Fibonacci (1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89 ...). Reden om daar eens een paar gedachten aan te besteden.
    Het 4de merkwaardig product laat zien wat er gebeurt als je twee termen met elkaar vermenigvuldigt, als die termen allebei te schrijven zijn als de som van twee kwadraten: het product is dan zelf ook weer de som van twee kwadraten.

  • afleiding
  • (a2 + b2) x (c2 + d2) =
    a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2
    a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 + 2abcd - 2abcd
    a2c2 + 2abcd + b2d2 + b2c2 - 2abcd + a2d2
    (a2c2 + 2abcd + b2d2) + (b2c2 - 2abcd + a2d2)
    (ac + bd)2 + (bc - ad)2
    (= de som van twee kwadraten)

    maar: de ingevoegde termen +2abcd en -2abcd kunnen ook omgekeerd worden ingevoegd:
    (a2c2 - 2abcd + b2d2) + (b2c2 + 2abcd + a2d2)
    (ac - bd)2 + (bc + ad)2
    (=de som van twee andere kwadraten)

    dus: als 2 termen elk de som zijn van 2 kwadraten, is het product van deze termen op 2 verschillende manieren ook de som van 2 kwadraten. Tenminste, zolang geen van de termen a,b,c of d niet 0 is.

    Bijzondere aandacht verdient het geval a = c en b = d, m.a.w. als een term van 2 kwadraten met zichzelf vermenigvuldigd wordt:
    (a2 + b2) x (a2 + b2) = (a2 + b2)2 + (ab - ab)2 = (a2 + b2)2 + 02 en
    (a2 - b2)2 + (ab + ab)2 = (a2 - b2)2 + (2ab)2
    voorbeeld: (32 + 22) + (32 + 22) = 132) = 169 = (32 + 22)2) + 02) = 132) = (32) - 22)2) + (2 x 3 x 2)2) = (9 - 4)2) + 122) = 52) + 122)
    Voor ieder priem p 1 mod 4 geldt dat die altijd op slechts één manier is te schrijven als de som van 2 kwadraten
    Uit het bovenstaande volgt dat het kwadraat van zo'n priem weliswaar altijd op twee manieren te schrijven is als de som van 2 kwadraten, maar dat één van die manieren altijd een nul-kwadraat bevat. De uitdrukking is dan waar, maar triviaal. Sluiten we dergelijke nul-kwadraten uit, dan blijkt dat het kwadraat van zo'n priem ook altijd op slechts één manier is te schrijven als de som van 2 kwadraten.
  • toepassing: pythagoreische driehoeken
  • Een pythagorische driehoek is een setje van 3 gehele getallen (a, b en c) waarvoor geldt: a2 + b2 = c2. De meetkundige weergave is een rechthoekige driehoek, waarbij de zijden die recht op elkaar staan de lengtes a en b hebben, en de schuine zijde lengte c heeft. Het eenvoudigste en bekendste voorbeeld van een Pythagorische driehoek is: 32 + 42 = 52. De korte weergave van dit setje van 3 getallen is (3,4,5)
    Met behulp van het 4de merkwaardig product is het mogelijk om onbeperkt setjes van 3 getallen (a,b,c) de genereren. Dit is te zien in het volgende voorbeeld:
    stap 1
    Maak 2 getallen die elk bestaan uit de som van 2 kwadraten. Voor het voorbeeld kies ik
    x = (22 + 32) = 13
    y = (52 + 72) = 74
    het derde getal is het product van de eerste 2 getallen:
    z = x * y = 13 * 74 = 962

    het getal z is op twee verschillende manieren de som van 2 kwadraten:
    z = (2*5 + 3*7)(52 + (2*7 - 3*5)2 = 312 + (-1)2 en:
    z = (2*5 - 3*7)(52 + (2*7 + 3*5)2 = (-11)2 + 292
    omdat er gekwadrateerd wordt, is het min-teken niet van belang: a2 = (-a)2


    stap 2
    rechts kwadrateren, en links de twee verschillende sommen van 2 kwadraten vermenigvuldigen:
    z2 = (312 + 12) x (112 + 292)
    links staat nu weer het product van 2 termen, die ieder zelf de som van 2 kwadraten zijn.

    stap 3
    links herschrijven tot de som van 2 kwadraten. (dat kan op 2 manieren)
    z2 = (31 x 11 + 1 x 29)2 + (31 x 29 - 1 x 11)2, en:
    z2 = (31 x 11 - 1 x 29)2 + (31 x 29 + 1 x 11)2
    invullen en vereenvoudigen:
    9622 = 3702 + 8882 en
    9622 = 3122 + 9102

    ik heb nu 2 setjes van 3 getallen gemaakt die de verhoudingen van een pythagoreische driehoek weergeven:
    (370, 388, 962) en (312, 910, 962)

    stap 4
    Met het resultaat van stap 3 kan ik stappen 2 en 3 herhalen:
    9622 = 925444
    rechts kwadrateren en links de 2 verschillende sommen van 2 kwadraten vermenigvuldigen:
    9254442 = (3702 + 8882) x (3122 + 9102)

    9254442 = (370 x 312 + 888 * 910)2 + (370 x 910 - 888 x 312)2 en:
    9254442 = (370 x 312 - 888 * 910)2 + (370 x 910 + 888 x 312)2
    vereenvoudigen:
    9254442 = 9235202 + 596442 en:
    9254442 = 6926402 + 6137562
    En weer zijn er 2 pythagoreische triples:
    (59644, 923520, 925444) en (613756, 692640, 925444).


    en zo door, ad infinitum

    De interessante pythagorische driehoeken, zijn degene die niet door vereenvoudiging terug te brengen zijn tot een kleinere en simpelere driehoek.
    (3,4,5) is elementair, en staat voor 32 + 42 = 52.
    Het is best mogelijk om beide zijden met een kwadraad te vermenigvuldigen:
    4 x (32 + 42) = 4 x (52)
    4 x (32) + 4 x (42) = 4 x 52)
    (22 x 32) + (22 x 42) = 22 x 52
    62 + 82 = 102
    Het triple (6,8,10) is simpelweg de verdubbeling van het triple (3,4,5)

    De bovenstaande methode om met het 4de merkwaardig product ook triples te maken, levert geen elementaire triples op:
    (59644, 923520, 925444) komt overeen met (14911, 230880, 231361)

  • de gedachte
  • De vraag dringt zich nu op: is het omgekeeerde ook waar? Als we van een getal n weten dat het op 2 verschillende manieren te schrijven is als de som van 2 kwadraten, volgt daar dan ook dwingend uit, dat n ook te schrijven is als het product van twee termen die elk de som van 2 kwadraten zijn?

    Bij deze stel ik dat dat zo is. De bewijsvoering volgt in dit stuk.


Bert's werk