Bert's brein

geplaatst: 10-2-2014

reageer

Het vervolg van mijn afleiding van de speciale relativiteitstheorie. Uit de algemene formule voor het "optellen" van snelheden wordt afgeleid hoe snelheden loodrecht op elkaar moeten worden "opgeteld". Daaruit volgt een hele aparte fysische invariant: het ruimte-tijd volume dat een object inneemt is voor alle waarnemers gelijk.

de Speciale Relativiteitstheorie, optellen van snelheden en een invariant

De 'optel'-relatie +* voor relativistische snelheden is in het vorige stukje vooralsnog alleen uitgewerkt voor een 1-dimensionaal systeem, d.w.z. dat de betrokken systemen altijd op 1 lijn liggen.
Zonder op de achterliggende bewijsvoering in te gaan accepteer ik de standaardformulering voor het optellen van snelheden onder een willekeurige hoek:

  1. w2 = [(u-v) • (u-v) - (u X v)2 /c2 ] / (1 - (u • v)/c2)2
  2. voor een rechte hoek tussen u en v reduceert dit tot:
    w2 = (u-v) • (u-v) - (u X v)2 /c2
    Met andere woorden: het improduct van het vectorverschil is de resultante snelheid zoals die berekend zou worden in een euclidische ruimte.
    in andere notatie:
  3. w2 = u2 + v2 - u2v2 /c2
  4. dit laat zich omschrijven:
    v2 - u2v2 /c2 = w2 - u2
    v2 [( c2 - u2)/c2] = w2 - u2
  5. v2 = (w2 - u2) γu2
  6. γv2 v2 = c2v2 /(c2 - v2)
    = c2(w2 - u2) γu2 / [c2 - (w2 - u2) v2 ]
    = (w2 - u2) γu2 / [1 - (w2 - u2)/(c2 - u2) ]
    = c2(w2 - u2) / (c2 - w2)
  7. γv2 v2 = γw2 (w2 - u2)
  8. uit 3 en 4 volgt: (voor u en v onder een rechte hoek)
  9. γw = γu γv

Dit houdt concreet in, dat als object P ten opzichte van de Oorsprong een snelheid heeft van vx over de x-as, en een snelheid van vy over de y-as, de resultante snelheid tegenover de oorsprong berekend kan worden met de formules:
γ = √[c2/(c2 - v2)]
γres = γx γy
vres = c√ ( 1- 1/γres 2)


DE GEDACHTE:
Het ruimte-tijd volume dat een object inneemt, is te definieren als lengte x breedte x hoogte x tijdsinterval.
Uit de basis-variant van de speciale relativiteitstheorie volgde al, dat de lengte die door de stilstaande waarnemer wordt gemeten gelijk is aan 1/γ x de lengte in stilsstand
Die waarnemer neemt waar gedurende tijdsinterval Δt; op het bewegende object is dan een tijdsinterval verstreken van 1/γ x Δt.
Uit deze uitbreiding van de theorie volgt, dat e.e.a. moeiteloos om te rekenen valt naar een ruimte-tijd volume:
γx x γy x γz = γtot
Bij een beweging over de x-, y- en z-as, neemt de waarnemer een volume waar van 1/γtot x l x b x h x Δt.
In het bewegende object meet de (bewegende) waarnemer zijn eigen ruimte-tijd volume: l x b x h x Δt x 1/γtot
I.e. : onafhankelijk van het systeem waarin gemeten wordt, meet iedere waarnemer voor een bewegend object hetzelfde ruimte-tijd volume, oftewel: het ruimte-tijd volume is een invariant.
Mogelijk heeft deze conclusie gevolgen voor de wijze waarop we extra dimensies mogen postuleren in onze beschrijving van de fysische werkelijkheid. Het wordt hierdoor bijvoorbeeld de facto onmogelijk om massa als extra dimensie te postuleren.

Bert's werk