Bert's brein

geplaatst: 10-2-2014

reageer

Mijn eigen afleiding van de Speciale Relativiteitstheorie, met een kleine bonus. De mogelijkheid om het lichtsneidspostulaat te laten vallen kan echter grote theoretische consequenties hebben (maar praktisch verandert er natuurlijk niets).

de Speciale Relativiteitstherie, alternatieve afleiding zonder het lichtsnelheidspostulaat

Om de speciale Relativiteitstheorie te kunnen afleiden, maakte Einstein gebruik van het lichtsnelheidspostulaat, dat zegt dat alle electromagnetische golven zich met exact dezelfde snelheid door vacuum voortplanten, de bekende lichtsnelheid c.
Dit moest gepostuleerd worden, omdat het niet dwingend volgt uit de wetten van Maxwell.
In mijn ogen is dit postulaat de splijtzwam in de natuurkunde, omdat hierdoor twee verschillende natuurkundes zijn ontstaan: een natuurkunde voor objecten met massa (whatever that may be), die slechts kunnen voortbewegen met snelheden kleiner dan c, en een andere natuurkunde voor deeltjes zonder massa, die zonder uitzondering (in vacuum) exact met de lichtsnelheid reizen. Voor de massa-dragende deeltjes geldt, dat de kinetische energie 1/2 mv2is, voor massaloze deeltjes geldt dat E = h*fr (constante van Planck maal de frequentie). I.e. een 2de-graads vergelijking versus een 1ste-graads vergelijking.
In het onderstaande laat ik zien, dat het lichtsnelheidspostulaat niet noodzakelijk is, om de speciale relativiteitstheorie af te leiden.

CONCEPTEN

  1. ALGEMEEN
    1. Een waarnemer staat per definitie stil ten opzichte van zijn eigen systeem.
    2. Alles wat ten opzichte van de waarnemer beweegt bevindt zich per definitie in een ander systeem.
    3. Een waarnemer kan waarnemingen doen in zijn eigen systeem (i.e. aan entiteiten die stilstaan ten opzichte van de waarnemer) en aan andere systemen. Er kunnen geen waarnemingen gedaan worden in een ander systeem.
    4. Een waarneming wordt beschreven in het systeem van de waarnemer met de bijbehorende metriek.
    5. Het is mogelijk om op basis van waarnemingen uitspraken te doen over toestanden in een ander systeem dan dat van de waarnemer. Deze worden beschreven in termen van het systeem van de waarnemer.
    6. Ieder systeem kent drie reële lengte-assen en een onafhankelijke reële tijdsas.
    7. De betrekking tussen de eenheden in verschillende systemen is vooralsnog onbekend.
    8. Rekenkundige bewerkingen zijn alleen toegestaan met meetwaarden die betrekking hebben op 1 metriek.
    9. Alle systemen in stilstand hebben de dezelfde metriek.
    10. als voor 2 functies f(x) = y en g(x) = z geldt dat voor iedere x f(x) = g(x), dan geldt dat f(x) en g(x) dezelfde functie zijn.

  2. SYSTEEM IN STILSTAND
    1. Het systeem in stilstand kent drie reële orthonornale lengte-assen en een onafhankelijke reële tijdsas met een vaste eenheid.
    2. De afstand tussen twee punten in het stilstaande systeem wordt gedefinieerd als [(x1 –x2)2 + (y1 – y2)2 + (z1 – z2)2] ½. Deze afstand noemen we Δs.
    3. De euclidische meetkunde is geldig in het stilstaande systeem.
    4. Aan de euclidische meetkunde voegen we het concept van de limiet toe.

  3. SYSTEMEN ONDERLING
    1. De gemiddelde snelheid van een bewegend systeem t.o.v. het stilstaande systeem in de x-richting wordt gedefinieerd als Δx / Δt, en wordt aangeduid met vx. M.m. voor de y- en de z- richting.
    2. De gemiddelde totale snelheid van een bewegend systeem t.o.v. het stilstaande systeem wordt gedefinieerd als Δs / Δt, en wordt aangeduid met de letter vtot.
    3. De gemiddelde versnelling van een bewegend systeem t.o.v. het stilstaande systeem in de x-richting wordt gedefinieerd als Δvx / Δt, en wordt aangeduid met ax. M.m. voor de y- en de z- richting.
    4. De gemiddelde totale versnelling van een bewegend systeem t.o.v. het stilstaande systeem wordt gedefinieerd als Δvtot / Δt, en wordt aangeduid met de letter atot.
    5. De gemiddelde totale snelheid en gemiddelde totale versnelling van een bewegend systeem t.o.v. het stilstaande systeem van de waarnemer zijn translatie- en rotatie-invariant.
    6. Als systeem A t.o.v. systeem B een gemiddelde totale snelheid heeft van vi heeft systeem B t.o.v.systeem A ook een gemiddelde totale snelheid van vi. Waarnemers in beide systemen meten -aan elkaar metend- dezelfde waarden.
    7. Als systeem A t.o.v. systeem B een gemiddelde totale versnelling heeft van ai heeft systeem B t.o.v.systeem A ook een gemiddelde totale versnelling van ai.
    8. Als er een systeem P bestaat met vp > 0, dan bestaat er ook een systeem Q waarvoor geldt dat 0 < vq < vp.

RANDVOORWAARDEN
  1. Alle (gedachten-) experimenten worden uitgevoerd in vacuüm.
  2. Velden die de waarneming zouden kunnen verstoren mogen worden verwaarloosd
  3. De experimentator is almachtig, d.w.z. hij is in staat om voorwerpen te versnellen, en op een voorwerp in stilstand kan hij ingrepen doen. Hij kan echter geen waarden aflezen van voorwerpen in een ander systeem omdat dit strijdig is met A3.
  4. De waarnemer kan in principe voldoende precies meten om conclusies mogelijk te maken.
.
TESTOPSTELLING
Er is een testbaan met de lengte l1.
Aan het begin van de testbaan staat klok 1, aan het eind van de testbaan staat klok 2.
Klokken 1 en 2 staan exact gelijk, en dat is bereikt met de volgende procedure:
Vanaf een positie midden tussen de twee klokken is een (licht)signaal naar beide klokken gestuurd. Op het moment dat het signaal wordt ontvangen begint een klok te lopen.
Merk op dat hier geen bijzondere vooronderstelling omtrent licht of lichtsnelheid wordt gedaan. Er wordt alleen van uitgegaan dat -gegeven een homogeen medium in het laboratorium, met homogene druk en temperatuur- een (licht)signaal met een welbepaalde golflengte evenveel tijd nodig heeft om de afstand ½ l naar links af te leggen als naar rechts af te leggen. Over andere golflengten, media etcetera wordt geen enkele uitspraak gedaan. In principe zou zelfs een anderssoortig signaal gebruikt kunnen worden zoals een geluidssignaal,een pingpongballetje of een waterstraal.
Terwijl beide klokken (gelijk) lopen staat er een lichtstraal zodanig op de klokken gericht, dat de lichtstraal wordt onderbroken als een object de klok passeert.
Ook over deze lichtstraal wordt niets bijzonders verondersteld. De afstand die het licht van de bron tot de klok moet afleggen is gelijk voor beide lichtstralen, evenals de gebruikte golflengte.
Op het moment dat de lichtstraal naar een klok wordt onderbroken stopt die klok.
Na het experiment worden beide klokken afgelezen.

Een object (hierna te noemen: de stok) met lengte l2 wordt met een snelheid vi -zonder versnelling- over de testbaan geschoten.
Daarbij onderbreekt het object achtereenvolgens het licht dat op de klokken 1 en 2 stond gericht.
t2 - t1 = Δti
Δti = f(vi, l1)
(noot: lees bovenstaande regel als: Δti is een functie van vi en l1. In deze contekst wordt met f slechts aangduid dat het een of andere functie betreft. De letter f staat daarmee dus niet elke keer voor dezelfde functie)
l1 = Δsi
met behulp van klokken 1 en 2, en de eerder gedane lengtemeting van de testbaan l, wordt de snelheid van het object bepaald:
vi= Δsi /Δti

Aan het begin van de testbaan staat klok 3.
Op klok 3 staat ook een lichtstraal gericht.
Deze klok begint te lopen als de lichtstraal wordt onderbroken door de stok, en stopt weer als het licht de klok weer bereikt.
Met klok 3 wordt Δt3 gemeten.
Δt3= f(vi, l2)
De lengte van stok l2 in beweging wordt aangeduid met l2'
Deze meting wordt gebruikt om de lengte van de stok in beweging te bepalen.
l2' = f(vi, Δt3)

resultaten
Met bovenstaande testopstelling kunnen twee dingen gemeten worden: de snelheid van de stok, en de lengte van de stok bij een door de waarnemer te bepalen snelheid. De waarnemer herhaalt zijn experiment (steeds met dezelfde stok) voor een groot aantal verschillende snelheden.
Stel dat uit de experimenten blijkt dat de volgende relatie bestaan:
l'/l = f(vi)
Deze verhouding duiden we aan met φ:
φi = f(vi) , met f(0) = 1
Het is opgevallen, dat naarmate vi groter wordt, φi steeds dichter nadert naar 0. De waarde van φi is continu dalend als functie van vi, en ligt op het halfopeninterval [1,0[.
Verwacht wordt dat φi nooit 0 zal worden, omdat de lengte van het bewegende systeem dan 0 wordt, en er in het systeem geen tijd meer verstrijkt. Dit is strijdig met A6.


De resultaten die hier worden verondersteld lijken op het eerste gezicht vreemd, maar er bestaat in het kader van het onderzoek naar de relativiteitstheorie een enorm corpus van data dat deze virtuele resultaten ondersteunt. Deze data komen uiteindelijk in de plaats van de (door Einstein wel geëxpliciteerde, maar niet onderbouwde) aanname dat licht zich altijd met dezelfde snelheid voortplant. Merk op, dat er geen aanname wordt gedaan omtrent de grootte van factor φi, of de wijze waarop φi een functie is van de snelheid vi. Er wordt in het nakomende alleen gekeken wat er zou gebeuren als de lengte van een stok voor de stilstaande waarnemer zou veranderen als functie van de snelheid van de stok.

OPTELLEN VAN SNELHEDEN
Als ten opzichte van het stilstaande systeem twee systemen P en Q bewegen, met de waargenomen snelheden vp en vq staan de uitgangspunten niet toe om op basis van deze waarnemingen een uitspraak te doen over de snelheden die P en Q met betrekking tot elkaar zullen meten, anders dan dat ze aan elkaar dezelfde snelheid zullen meten (C6).
Het is niet mogelijk om een dergelijke resultante snelheid van twee systemen ten opzichte van elkaar door middel van metingen te bepalen (A3).

Hoewel het (vectorieel optellen van snelheden of snelheidscomponenten niet leidt tot een correcte uitspraak over de resultante snelheid in een ander systeem, blijkt uit de experimenten dat, bij vp> 0 en vq > 0 geldt:
vtot > vp en vtot >vq.
In plaats van optellen geldt er blijkbaar een andere relatie om resultante snelheden te bepalen.
Deze nog onbekende relatie zal worden aangeduid met het teken +* , en de inverse daarvan met -*.
Gegeven C6 is het volgende over deze relaties bekend:
(voor p,q,r >0)
vp +* vq > vp
vp +* vq > vq
vp +* vq˂ vp + vq
vp +* 0 = vp
vp -* vp = 0
vp +* vq = vq +* vp
vp +* (vq +* vr) = (vp +* vq) +* vr

Op basis van de voorgaande experimenten is de uitspraak geoorloofd dat als een bewegend object de lengte l heeft, gemeten bij snelheid vp, het object in zijn eigen systeem de lengte heeft van l * 1/φi (met φi een dimensieloos getal). Van deze eigenschap wordt gebruik gemaakt.

Stel een object P heeft een snelheid van p/Δt (= vp) t.o.v. de oorsprong. P stuurt signalen (balletjes) naar O met de snelheid q/Δt (= vq) t.o.v. het systeem van P.
De signalen hebben t.o.v. O een snelheid van r/Δt (= vr), waarbij geldt dat:
q/Δt -* p/Δt = r/Δt.
Dit is equivalent met: p/Δt + * r/Δt = q/Δt.

P stuurt elke Δt (gemeten in het systeem van P) een signaal, te beginnen bij t = 0, het moment dat P de oorsprong O passeert.
Als P zijn 2de signaal verstuurt, is op P precies Δt. verstreken.
In het systeem van O dan Δt/φp verstreken, en bevindt P zich op een afstand van p/Δt * Δt/φp = p/φp van O.
Het eerste signaal bevindt zich op het moment dat P zijn 2de signaal verstuurt op een afstand van r/Δt * Δt/φr = r/φr van O.

De afstand tussen de twee signalen is dan (p + r)/φr [Afstanden zijn allen gemeten in het stilstaande systeem van de waarnemer, en mogen daaarom worden opgeteld].
De twee signalen maken deel uit van het bewegende systeem van signalen [S], dat zich met snelheid r/Δt  langs O beweegt. De onderlinge afstand tussen twee signalen in S, moet dan zijn (p + r)/φpφr.

Ook P neemt systeem S waar. S beweegt t.o.v. P met q/Δt. Gezien vanuit P, is de afstand tussen twee signalen de afstand q. Omgerekend naar S is deze afstand q/φq.
Nu volgt de gelijkheid:
  1. (p + r ) / q = φpφr / φq
  2. Hetzelfde experiment, maar nu beweegt P vanaf het punt p/φp in Δt in de richting van O. De signaalsnelheid t.o.v. P is r/Δt, de signaalsnelheid in O is q/Δt, waarbij geldt p/Δt + * r/Δt = q/Δt.
    Op analoge overwegingen levert dit op:
  3. (q - p) / r = φqφp / φr
  4. (q - r) / p = φrφr / φp
  5. uit deze twee volgt:
  6. q = [φr2p2 - φp2r2] / [φr2p - φp2r] (niet gedefinieerd voor p = r)
  7. φq2 = [(q - p)(q - r)] / pr
  8. bij p /Δt = r/ Δt gaan deze vergelijkingen over in:
  9. 2p / q = φp 2q
  10. (q / p) - 1 = φq
hiermee zijn, gegeven de snelheid vp ( = p/Δt) waarvoor geldt φp = 1/2 de volgende gegevens te genereren:
vn (vn +* vn =vp) = 2/3 vp φn = 2/3
vp   φp = 1/2
va (=vp +* vn) = 10/9 vp φa = 2/27
vq (=vp +* vp) = 8/7 vp φq = 1/7
vb (=vp +* vq) = 15/13 vp φb = 1/26
vu (=vq +* vq) = 112/97 vp φu = 1/97
vv (=vu +* vp) = 209/181 vp φv = 1/362
vw (=vu +* vu) = 21728/18817 vp φw = 1/18817
     
Hier is al duidelijk te zien, dat de waargenomen snelheid nadert tot een maximumwaarde van ~ 1.155 vp.
Noemen we die maximumsnelheid Г, dan geldt bij vp = 0.866025404Г een φp = 1/2 . Wordt de tabel herschreven in termen van φp/Г en 1/φ, dan staat er:
v (uitgedrukt in Г) 1/φv
   
.57735 1.22474487
.866025403 2
.962250448 3.674234614
.989743318 7
.999260081 26
.999946858 97
.999996184 362
.999999998 18817

deze data blijken exact te voldoen aan Einsteins gamma, waarbij Г = c. Gegeven uitgangspunt A 10, is de conclusie gerechtvaardigd dat het hier dezelfde functie betreft. 1/φ = γ = [1/( 1- (vp/Г)2 ]
Anders geformuleerd:
(vp uitgedrukt in Г)
φv = ( 1- v2 /Г2)
v = Г√ ( 1- φv 2)

w.b. de optelrelatie:
q = [φr2p2 - φp2r2] / [φr2p - φp2r] gaat over in vq = (vp + vr)/(1 + vpvr/Г2) en
q = 2p/(2 - φp2) voor p = r gaat over in  vq = 2 vp/(1 + vp2/Г2).
Hieruit volgt dat de volgende formulering voor optellen van snelheden (1-dimensionaal) moet zijn:
vp +*vr = (vp+ vr)/(1 + vpvr /Г2) voor elke vp en vr
dit is ook in exacte overeenstemming met Einstein.
Als consequentie daarvan is de inverse bewerking: vp -*vr = (vp- vr)/(1 - vpvr /Г2) voor vq > vp


HET RELATIVISTISCHE DOPPLER EFFECT:
Omdat de relatie v = golflengte*frequentie blijft gelden, is met de boven afgeleide gegevens aan te tonen dat (roodverschuiving, 1ste experiment)
fr' = fr (1 - vp/vq) * 1/φp
waarbij vq de signaalsnelheid. Het teken van vq tegengesteld is aan dat van vp.
Geheel analoog volgt voor blauwverschuiving (2de experiment, waarbij vr de signaalsnelheid is: fr' = fr (1 + vp/vr) * 1/φp
Generaliserend (vs is de signaalsnelheid)
fr' = fr (1 + vp/vs) *1/φp
In de Speciale relativiteitstheorie gaat het signaal met lichtsnelheid c.
voor vs = c gaat bovenstaande gelijkheid (na substitutie van 1/φp) over in:
fr' = fr ((1-vp)/(1+vp))

Ook dit komt weer exact overeen met de speciale relativiteitstheorie. Het is echter geen noodzakelijke stap dat het signaal altijd met de lichtsnelheid moet gaan. Mijn formulering is algemener omdat de signaalsnelheid niet is vastgelegd.

DE GEDACHTE:
Ook zonder het lichtsnelheidspostulaat is, uit het empirische gegeven dat lengte-contractie bestaat, de gamma van Einstein af te leiden, en daarmee de speciale relativiteitstheorie. De plaats van dit postulaat wordt ingenomen door een set (fictieve) waarnemingen: als het zo is dat uit waarneming blijkt, dat de lengte van een stok een continu dalende functie is van de snelheid van de stok, dan volgt daaruit dwingend de speciale relativiteitstheorie. De nauwkeurigheid van de waarneming is niet van belang, het enige dat telt is het genoemde verband.
Daarmee staat de weg open voor de gedachte dat electromagnetische golven zich niet altijd exact met lichtsnelheid c voortplanten in vacuum, maar dat de voortplantingssnelheid (bijvoorbeeld) samenhangt met de golflengte. Immers: de golven die we hebben gemeten zijn allemaal bijzonder kort, en metingen aan golven met een golflengte van kilometers of zelfs duizenden kilometers lang zijn met de huidige techniek niet met voldoende nauwkeurigheid uit te voeren. Mogelijk ligt dus de voortplantingssnelheid van de golven die we hebben gemeten dermate dicht bij c, dat wij het verschil niet kunnen meten.
Ik heb aan hoogleraar E.V. gevraagd waarom hij dan toch gelooft dat alle licht met snelheid c gaat. Hij antwoordde dat dat is, omdat de wetten van Maxwell vrij schaalbaar zijn: voor zichtbaar licht komt daar snelheid c uit, en dan moet door de vrije schaalbaaarheid van de golflengte die snelheid ook gelden bij extreem lange golflengten.
Hoewel ik niet denk dat ik de wetten van Maxwell heb doorgrond (die zijn namelijk echt moeilijk), ben ik door dit argument niet overtuigd, en wel om twee redenen:
Ten eerste praktisch: als het werkelijk dwingend zou volgen uit de wetten van Maxwell, had Einstein het niet hoeven postuleren, dan had hij gewoon naar Maxwell verwezen.
Ten tweede fundamenteel: deze wetten zijn empirische wetten: ze zijn zo opgesteld dat ze de waarnemingen goed beschrijven, maar ze zijn niet afgeleid uit fundamentele aannames. Dat laat de mogelijkheid open dat (net als bijvoorbeeld bij de zwaartekrachtswet van Newton) altijd de mogelijkheid bestaat dat er een (uiterst kleine) correctie-factor in deze wetten hoort, die maakt dat de wet niet meer vrij schaalbaar is. Een dergelijke factor (orde van grootte van Planck-eenheden) zou bij meting wegvallen in de foutenmarge, dus vooralsnog kunnen we niet weten of zo'n factor wel of niet nodig is (niet zozeer qua praktijk, maar wel qua theorievorming).

Mijn resultaat is niet verassend: de gekende theorie komt er precies uitrollen. Bonus is, dat ik nu ook de formule heb voor signalen die niet met c gaan, te weten:
fr' = fr (1 + vp/vs) * γp

Bert's werk