Bert's brein

geplaatst: 15-8-2015

reageer

Edwin Hubble heeft gemeten dat de mate van roodverschuiving van sterren gelijk opgaat met de gemeten afstand. Dit leidt naar een model van een expanderend universum. In dit stukje een fysisch-mathematische uitwerking met een toepassing: het moet mogelijk zijn om te bepalen of -zoals de theorie stelt- licht (onafhankelijk van zijn golflengte) altijd dezelfde snelheid heeft. Daarnaast voorpelt een expanderend universum dat afstandsmeting op basis van lichtsterkte structureel moet leiden naar een overschatting van de afstand.

de expansie van het universum


  1. inleiding
  2. Edwin Hubble heeft gemeten dat de mate van roodverschuiving van sterren gelijk opgaat met de lichtsterkte. Dit leidt naar een model van een expanderend universum. De onderlinge afstanden van objecten in een dergelijk universum worden allemaal groter met het verstrijken van de tijd, maar de onderlinge verhoudingen in afstand blijven steeds gelijk. In een expanderend universum staan de objecten stil, en neemt de ruimte tussen de objecten toe. Roodverschuiving is daarom niet toe te schrijven aan de beweging van het object.
    Om expansie van ruimte te visualiseren worden er vaak drie beelden gebruikt: het opblazen van een ballon, de mier op het eindeloos rekkende elastiekje en het rijzende rozijnenbrood.
    De ballon maakt weliswaar inzichtelijk hoe de oppervlakte van de ballon toeneemt terwijl de verhouding van de onderlinge afstanden gelijk blijft, maar het zegt weinig over de snelheid van de expansie. Als er per tijdseenheid steeds dezelfde hoeveelheid gas in de ballon wordt geblazen neemt de expansie af en nadert tot 0, omdat het volume toeneemt met een derde macht, en de oppervlakte met een tweede macht. Het model is dus wel inzichtelijk, maar weinig informatief en zelfs enigszins misleidend.
    Bij de mier op het elastiekje wordt het elastiek per tijdseenheid een vaste hoeveelheid langer. Dit is dus een lineaire expansie, zoals we die ook bij bijvoorbeeld een explosie kennen. Datgene wat Hubble formuleert is echter niet een lineaire expansie, maar een exponentiële expansie.
    Het rijzende brood is wederom niet erg specifiek omtrent de snelheid of de versnelling waarmee het deeg rijst.

  3. exponentiële expansie
  4. De constante van Hubble (H0) is ongeveer 72 (km/s)/Mpc. De megaparsec = 1000.000 parsec, de parsec is een lengtemaat, uitgedrukt in SI-eenheden 3,08567758 * 1016 meter. De wet van Hubble (eigenlijk: een generalisering over zijn observaties) zegt, dat "de snelheid" van een object op een afstand van 3,0856 * 10^22 meter 72 km/sec bedraagt. Op een twee keer zo grote afstand is die snelheid twee keer zo groot.
    uitgedrukt in SI-eenheden bedraagt H: 2,2685 * 10^-18 (m/m * 1/sec). D.w.z. dat iedere afstand van 0,44 * 10^18 meter iedere seconde 1 meter langer wordt. Een lichtjaar bedraagt 9.460.730.472.580.800 meter (= 9,46 * 10^15). I.e. in 1 seconde wordt iedere 46,5 lichtjaar 1 meter langer. Dat is dus een extreem kleine expansiefactor.
    Een formulering als deze is echter misleidend, want het suggereert dat een object op die afstand een snelheid heeft, en dat is technisch gezien - gegeven het bovenstaande- niet het geval: de ruimte zelf expandeert, maar het object dat zich in die expanderende ruimte bevindt staat stil.
    De wet van Hubble geeft een beschrijving van het heelal zoals we dat nu zien, en niet een beschrijving van de manier waarop het heelal zich heeft ontwikkeld.
    Inherent aan de wet van Hubble is, dat het heelal exponentieel expandeert: gegeven een bol met radius R is er een bepaalde tijd delta-T nodig om R te verdubbelen tot 2R. Omdat het de ruimte zelf is die expandeert, is er weer exact een tijdspanne van delta-T nodig om opnieuw te verdubbelen tot 4R. Dit is karakteristiek voor een exponentiële expansie.

    Op internet kon ik de formules voor roodverschuiving die hieruit zouden moeten volgen niet vinden. Ik heb ze daarom zelf gemodelleerd, uitgaande van de volgende parameters:

    Gegeven:
    Ding (positie: X) en Oorsprong (O);
    Vanaf X beweegt zich een sigaal naar O in een rechte lijn
    d(X,O) = 10.000 (m) : de afstand tussen de Oorsprong en X is 10 kilometer
    H = 0,0001 (m/m * 1/sec) : iedere seconde wordt ieder lengte-interval van 1 meter tussen X en O vergroot met 1 mm
    v = 2 (m/sec): het signaal van X naar de Oorsprong beweegt zich met 2 meter per seconde vanaf X, en ook (X en O staan stil tegenover elkaar) komt het bij O aan met een snelheid van 2 m/sec
    De klokken op X en O staan gelijk. Omdat D en O stilstaan tegenover elkaar blijven de klokken gelijk lopen.

    Gevraagd:
    Na hoeveel seconden arriveert het signaal van X in O.

    Oplossing:
    Gezien vanuit O vertrekt het signaal uit X met de snelheid van 2 m/sec. Echter: in de eerste seconde neemt de afstand tussen X en O toe met (10.000 * 0,0001 = ) 1 meter. Na 1 seconde is de afstand tussen het signaal en O daarmee (10.000 - 2 + 1) 9999 meter.
    Gezien vanuit O is de resultante signaalsnelheid in het tijdsinterval van t = 0 naar t = 1 vast te stellen op 1 m/sec.
    Het signaal komt bij O aan op t = T. Op dat moment heeft het signaal een snelheid van 2 m/sec ten opzichte van de waarnemer in O.
    Die verandering van snelheid heeft plaatsgevonden in T seconden, onder invloed van de steeds maar expanderende ruimte.
    vT/v0 = 2
    Deze toename in snelheid heeft plaatsgevonden in T seconden. Elke seconde neemt de afstand tussen het signaal en O toe met een factor van (1 + H) * de resterende afstand. De snelheid verdubbelt in die tijd van 1 m/sec naar 2 m/sec. (vT/v0 = 2).
    Daaruit volgt: (1+H)^T = 2, oftewel (algemeen geformuleerd):

    T = ln(vT/v0)/Ln(1+H)

    Dit leidt naar het antwoord: T = 6931,81837341456 (sec)
    Ik heb deze uitkomst gecontroleerd door een numerieke benadering, waarbij alle parameters (H,v en d) alsmede het oplossend vermogen werden getoetst (samplen per 1 seconde en per 1/2 seconde); de uitkomsten komen exact overeen.
  5. roodverschuiving
  6. Als (in hetzelfde rekenvoorbeeld) na één seconde een tweede signaal wordt gestuurd van X naar O, dan komt dit signaal met vertraging aan: in die ene seconde is immers de afstand tussen X en O toegenomen. Het eerste en tweede signaal zijn te begrijpen als het beginpunt en eindpunt van een golf. Gegeven de snelheid (2 m/sec) is op X de golflengte 2 meter. Als deze golf aankomt op O is de golflengte toegenomen naar 4,00020000999939. De factor voor roodverschuiving bedraagt daarmee 2,000100005. De tabel met de berekeningen is opgenomen op een aparte data-pagina.

    Het bijzondere van deze roodverschuiving is, dat hij afhankelijk is van de golflengte: een grotere golflengte heeft een grotere roodverschuiving. Uit de data-pagina blijkt dat dit verloop niet lineair is:
    golflengte op X golflengte op O factor
    2 4,00020000999939 2,000100005
    20 40,0200190197538 2,001000951
    200 402,020117170903 2,010100586
    2000 4222,43859430026 2,111219297
    Hierin wijkt het af van relativistische roodverschuiving, of van het doppler-effect in vacuüm.
    Deze specifieke eigenschap (roodverschuiving gerelateerd aan golflengte) opent de mogelijkheid om twee dingen te onderzoeken:
    1. is dit model van exponentiële expansie correct
    2. heeft licht altijd dezelfde voorplantingssnelheid (c) onafhankelijk van de golflengte
    3. Dit laatste is voor mij geen vaststaand feit, maar een modeltheoretische aanname. Zie hiervoor 'de gedachte' bij mijn afleiding van de speciale relativiteitstheorie
      Aan de volgende randvoorwaarden moet zijn voldaan:
      1. voor iedere golflengte moet de voortplantingssnelheid gedurende T constant zijn
      2. gedurende T moet H constant zijn, en gelijk zijn voor iedere afstand (homogeen)
      Als aan de voorwaarden is voldaan, kan van een enkele puntbron (een zeer ver verwijderde melkweg) gekeken worden naar twee golflengten (bijvoorbeeld twee spectraallijnen van waterstof of helium, een rode en een blauwe lijn). Gegeven de roodverschuiving van de rode lijn kan dit model exact de roodverschuiving voor de blauwe lijn bepalen. De blauwe lijn heeft een kleinere roodverschuiving. Als de gemeten golflengte voor de blauwe lijn kleiner is dan op grond van het model verwacht wordt, heeft blauw een hogere snelheid dan rood. Omdat het één bron of één moment betreft, zijn de storende variabelen (scatter door geïoniseerd gas tussen bron en waarnemer) voor beide sprectraallijnen gelijk.

    4. roodverschuiving als functie van de afstand
    5. In onderstaande tabel is (binnen het gegeven voorbeeld) voor een gegeven golflengte van 2 meter weergegeven welke roodverschuiving moet worden waargenomen als functie van de afstand:
     afstand  factor
       
     10.000  2,000100005
     8.000  1,666722224
     6.000  1,428602041
     4.000  1,250015625
     2.000  1,111117284
    Ook dit is een exponentieel verband, en geen lineair verband. De te raadselachtiger is het, dat de empirische data tot voor kort doorgaans wel worden geplaatst in een lineair verband. Inmiddels blijkt uit de empirische data dat hier waarschijnlijk geen sprake is van een lineair verband:

    [bron: https://briankoberlein.com/tag/hubble-constant/]

    De rechte lijn representeert de Hubble-constante, de kromme geeft de beste fit met de data. Uit mijn bovenstaande betoog blijkt dat hier geen sprake is van een tegenstelling: de wet van Hubble zelf voorspelt een kromme.

  7. afstand, luminositeit en roodverschuiving
  8. De observaties van Hubble omvatten een lineair verband tussen afstand en roodverschuiving. Dit voronderstelt dat er twee zaken onafhankelijk van elkaar gemeten kunnen worden: de roodverschuiving en de afstand. Een van de manieren om de afstand tot een zeer ver verwijderd lichtgevend object te bepalen, is de meting van de luminositeit: de lichtsterkte neemt kwadratisch af met de afstand:
    Ld = L0/(π4* d2)
    De afstand is in deze berekening echter problematisch, omdat die verandert gedurende de tijd dat het signaal beweegt van de bron naar de waarnemer.
    Als de oorspronkelijke golflengte bij de bron bekend is, volgt uit de roodverschuiving wat de afstand van het object geweest moet zijn op het moment van het zenden van het signaal. In het gegeven voorbeeld: als bekend is dat de golflengte 2 meter was, en de factor voor roodverschuiving bedraagt 2,000100005, dan volgt daaruit dat de afstand tussen D en O op het moment van het zenden van het signaal 10.000 meter geweest moet zijn.

    Dit stelt me in staat om de lichtsterkte te correleren aan de roodverschuiving: binnen het gegeven rekenmodel worden twee versies van de waar te nemen lichtsterkte berekend. De klassieke (op basis van de afstand zoals boven berekend) en het alternatief, waarbij de afstand berekend wordt op basis van de tijd die het signaal nodig gehad heeft om van D naar O te komen (T*v), waarbij [wederom: in de rekenmodel geldt v = 2]. De lichtsterkte bij de bron wordt gesteld op 1.000.000.

     afstand  factor L(klassiek) T d (=T*v) L (alternatief)  
                 
     10.000  2,000100005 0,000795774 6931,8183 13.863,6366 0,000414033  
     8.000  1,666722224 0,001243397 5108,5116 10.217,0232 0,000762327  
     6.000  1,428602041 0,002210485 3566,9277 7.113,3855 0,001572669  
     4.000  1,250015625 0,004973591 2231,5470 4.463,0340 0,003995119  
     2.000  1,111117284 0,019894367 1053,6578 2.107,3156 0,017919709  

    Dit leidt naar de conclusie dat, in een universum dat exponentieel uitdijt op de manier zoals door Hubble omschreven, de kwadratisch afnemende lichtsterkte van een ster niet zonder nadere wiskundige bewerking mag worden gehanteerd als een directe maat voor de afstand. Dit leidt structureel naar overschattingen van de afstand van de lichtbron op het moment dat het signaal werd gezonden: een luminositeit van 0,00076 zal in het klassieke model worden opgevat als een afstand van iets minder dan 10.000, terwijl het overeenkomt met een afstand van 8000.

    De interne consistentie van het hier voorgerekende model is in principe te toetsen aan de data: bij een gegeven frequentie (bekend bij ineenstortende witte dwergen), is de roodverschuiving te meten. Deze meting kan slechts consistent zijn met één welbepaalde afstand. Daarnaast kan de luminositeit worden gemeten. Als ook de luminositeit bij de bron bekend is, volgt ook daaruit een afstand. Die afstanden moeten overeenkomen. Mijn verwachting is, dat die afstanden bij de klassieke manier van het calculeren van afstand op basis van lichtsterkte niet overeenkomt met de afstand zoals berekend op basis van roodverschuiving: de klassieke berekening zal een grotere afstand laten zien.

    De Hubble-constante doet alleen een uitspraak over het heelal zoals we dat nu zien. Er is geen enkele garantie dat altijd dezelfde waarde heeft gegolden voor de expansie-factor. Hiervan wordt gebruik gemaakt bij o.a. het inflatie-onderdeel van de Big Bang theory. Gegeven het bovenstaande is de overschatting van de afstand groter naarmate de expansie-factor groter is, en naarmate de afstand toeneemt. Als de factor in het verleden groter was, wijkt de schatting van de afstand op basis van lichtsterkte dus verder af van de waarde die berekend wordt op basis van roodverschuiving.

  9. conclusies
    1. in de formulering van Hubble dijt het helaal exponetieel uit.
    2. op dit moment is de factor extreem klein (iedere 46,5 lichtjaar wordt iedere seconde 1 meter groter)
    3. roodverschuiving op basis van expansie is afhankelijk van de frequentie
    4. onder de voorwaarden dat:
      • de expansie is homogeen en constant gedurende het traject van het signaal
      • de signaalsnelheid (lichtsnelheid) voor iedere gegeven frequentie constant is gedurende het hele traject
      is bij een gegeven golflengte de exacte factor voor roodverschuiving te berekenen, en vanaf daar de exacte afstand tot het object op het moment van het zenden van het signaal
    5. bovenstaande berekening levert een kortere afstand op, dan een berekening op basis van lichtsterkte

Bert's werk